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基于状态空间法的MEMS静电驱动控制方案

2008-01-31 嵌入式在线收藏 | 打印

1 引言

MEMS静电驱动平行板结构在诸多如微镜、光开关、可变电容和加速度计等MEMS器件中有着广泛应用。

但是，平行板结构的pull-in不稳定性影响了其运动特性，限制了其操作准确性，使得运动精确度成为MEMS静电结构研究的重要问题。

考虑到MEMS器件的加工工艺和器件尺寸，对平行板结构控制系统运动性能的改进应该建立在不增加器件工艺的基础上。利用线性系统的电荷反馈原理来控制极板电荷以达到稳定极板工作和扩展移动距离的目的。但平行板结构是一个静电与机械复合系统，电荷控制不能解决平行板系统运动特性中的瞬时响应问题，系统的瞬时响应受机械子系统阻尼影响，低阻尼会带来过大的超调量，容易导致上下极板接触，降低器件寿命；高阻尼则导致过久的上升时间，即开关时间响应过长，这也影响了器件的性能，因此需要一种新的研究方法来设计控制方案以提高MEMS静电结构的瞬时特性。

本文对MEMS静电驱动平行板结构建立一维静电二阶系统模型，这种一维静电模型可以用于微镜、静电驱动开关及可变形模片微结构等的分析。在状态空间下研究平行板结构运动特性，实现平行板机械子系统和静电子系统状态空间矩阵的参数分离，设计状态反馈控制方案改善系统运动特性。方案通过设置平衡点来确定研究初始条件，控制极板从此平衡点稳定移动到下一个位置，过程中避免极板间接触，实现任何期望的稳定区间，同时满足低超调量、短上升时间的控制要求。

2 平行板结构状态空间实现

2.1 模型建立

MEMS静电驱动平行板的一维模型如图1所示。主体包括一个固定下电极板和一个质量为m的可平行移动上电极板，弹簧k和减震器b分别代表弹性回复力系数和空气阻尼系数，移动极板只有一个自由度一一竖直方向，l是竖直方向的坐标，电压源对平行极板供电。

在器件揲作过程中，电极板接触不可避免。这种情况下，本文假定两个极板接触时，可移动极板瞬时失去部分或者全部动能。同时假定下极板上涂有厚度为δ0的绝缘材料，用来阻止极板接触时电荷流向底极板。

设Q(t)是平行极板的电荷量，i(t)足回路电流，υ(t)是外加电压，r足输入电阻，A是极板的面积，l(t)和ε分别是极板间的距离和介电常数。这样，板间电容为εA／l(t)，作用于上极板的静电力fe=Q(t)2／(2εA)，回路电流可以表示为

2.2 模型状态空间描述

经典控制论中，常用微分方程或传递函数来描述一个线性常数系统的运动规律，而微分方程或者传递函数只能用于描述系统输入与输出之间的关系，不能描述系统内部的结构及状态变量。现代控制论采用状态空间法来分析系统，用一组状态变量的一阶微分方程组做系统数学模型，它可以反映出系统全部独立变量的变化情况，从而能同时确定系统的全部内部运动状态。MEMS静电驱动平行板结构是个复杂的机械静电耦合系统，只有深入到系统内部作机械静电分离研究，才有助于设计出更优良的系统控制设计方案，而状态空间法正是为系统内部运动状态研究提供了很好的研究途径。

根据文献[8]对二阶系统的描述，选定模型系统状态变量为：x1(t)=Q(t)，x2(t)=l(t)，x3(t)=l(t)。由式(1)～(3)可以得到系统的状态方程是：

对于状态空间输出量的选取，主要考虑其可测件。极板电荷Q(t)和极板间距l(t)能被准确得到，板间电压Q(t)l(t)／(εA)和极板电容εA／l(t)都可以计算得出。为方便分析，本文把极板间电压和极板间电容倒数作为状态空间输出。

下面对上述变量做归一化处理：令ζ=σt，l=l／a，v=V／rσβ，q=Q／β。其中，σ是一正实数，机械共振频率,ζ=b／(2wm)是阻尼比。归一化后状态向量为,状态空间方程的矩阵形式为

转换后状态空间输出矩阵

式中，y1是极板电压与rσβ的比值，y2是极板电容与常数rσ比值的倒数。

3 理论分析

3.1 状态反馈引入

式(7)所描述的平行板系统属于电压控制系统，但受pull-in影响，控制系统性能受限。反馈控制可以改善控制系统的性能，下面引入状态反馈思想来改善式(7)的运动精度。为让状态反馈方案更具普遍性，假设上极板的初始位置是任一平衡点x2，而不是其原始位置。根据平衡点要满足的条件，上极板初始位置要满足

为方便分析，对上式做如下坐标变换

上述变换中，x1，x2，v是变量平衡点值。转换后，新的状态空间变量是ξ1，ξ2，ξ3。代入式(7)，新的状态空间方程矩阵形式

状态空间输出变量的矩阵形式

根据文献[8]对状态变量选定的描述式(9)，状态变量ξ2和ξ3影响着系统瞬时特性，同时受ξ1制约，加之ξ1受输人量u影响，实际上，ξ2和ξ3很大程度上取决于输入量u。ξ2和ξ3受机械系统决定的部分不易改变，因为这与MEMS器件机械结构相关。本文的目标是设计状态反馈输入量u，让u调节状态变量ξ2和ξ3，以改善系统瞬时特性。需要注意的是，式(9)需要满足状态变量可控性，这是系统应用状态反馈的前提条件。

3.2 状态反馈设计

令状态反馈u=Kξ，K=[K1，K2，K2]为状态反馈增益向量，改变K可以改善系统的稳定性、快速性及稳定误差。把u=Kξ表示为初始坐标下的状态反馈输入量式(11)就是本文讨论得到状态空间输入量的控制方案。当K2=0时，系统有唯一平衡点，同时如果满足K1<0和K3>0，线性化系统的所有极点值都在复平面的左半平面，这是实现系统稳定和良好瞬时特性的基本条件。

3.3 反馈增益求解设计

反馈增益K的求解主要依照以下步骤进行：

首先，根据MEMS系统指标要求，结合超调量、超调时间等时域指标参数，确定系统阻尼比和自然频率。

其次，由阻尼比和自然频率，根据闭环极点求解公式得到系统要求所对应的闭环极点。

随后，通过计算得到的闭环极点，借助MATLAB软件的place函数得到状态反馈增益矩阵K。

最后，把K带人式(11)获得反馈系统的输入量，完成状态反馈控制方案设计。

4 控制方案的建模实现

通过以上理论分析和公式推导，本文在MEMS静电驱动平行板系统上实现了状态反馈控制系统的设计。状态反馈系统的价值在于通过合适的反馈回路，调节系统的瞬态响应，可以显著减少灵敏度和抗干扰造成的影响，也可以减少系统的稳态误差。

作者借助Matlab的Simulink仿真平台，搭建控制方案模拟平台。实验平台的主要设计思路是实现式(9)所描述的状态空间方程，在此基础上加反馈回路得到如图2所示的基本构架。

通过仿真实验来研究加入状态反馈后MEMS静电驱动平行板系统的瞬时性能。首先确定本次实验是在归一化时间和极板间距条件下进行的，实验以平衡点0.1极板间距位置作为初始条件点，并以σ≤2％和ζ=0.1作为MEMS系统约束条件。依照(3.3)节里归纳的运算步骤，最终在Simulink平台上得到图3所示的仿真实验结果。从图3可以看出，加状态反馈后的系统，很好地抑制了超调量，避免了极板接触；同时缩短，超调时间，改进了器件的瞬态特性。